VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
Trigonometriske likninger
12:40
03:26
10:20
08:45
27:15
29:02
24:33
05:54
Trigonometriske funksjoner
18:40
07:46
13:18
12:11
41:30
47:00
Følger og rekker
07:59
36:44
35:29
28:19
32:42
20:59
35:07
28:45
49:28
03:45
06:13
Integrasjon
34:09
10:26
23:21
12:00
08:49
10:22
47:15
57:46
21:10
08:40
16:57
09:55
Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon
23:29
35:16
39:37
13:44
Vektorer og romgeometri
10:32
05:22
03:35
01:23
38:04
15:07
15:33
28:56
16:06
18:23
57:52
24:46
17:52
11:36
49:09
21:48
06:33
Eksamenstid 5 timer
Del 1 (Uten hjelpemidler) skal leveres etter 2 timer.
Del 2 (Med hjelpemidler) skal leveres etter senest 5 timer.
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonane a) b) c)Oppgåve 2 (4 poeng)
Bestem integralet ved å bruke a) variabelskifte b) delbrøkoppspaltingOppgåve 3 (4 poeng)
Punkta A (1,-1,0), B(3,1,1), og C(0,0,0) er gitt. a) Bestem . Bruk resultatet til å bestemme arealet av b) Bestem . Bruk mellom anna dette resultatet til å bestemme arealet avOppgåve 4 (3 poeng)
Løys differensiallikninga y' = 6xy når y(0) = 2Oppgåve 5 (5 poeng)
Ei rekkje er gitt ved a) Bestem og b) Forklar at rekkja er aritmetisk, og bruk dette til å finne eit uttrykk for og . c) Bestem kor mange ledd rekkja minst må ha for atOppgåve 6 (2 poeng)
Denne informasjonen er gitt om ein kontinuerleg funksjon f : • for alle • for alle • for x = -2 og for x = 2 • for x = 1 og for x = 3 Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut.Oppgåve 7 (2 poeng)
Bruk induksjon til å bevise påstanden
Oppgåve 1 (4 poeng)
Ein pasient får 8 mL av ein medisin kvar time. Den totale mengda medisin i kroppen t timar etter at medisineringa starta, er y(t) mL. I løpet av ein time skil kroppen ut 5 % av den totale medisinmengda. a) Forklar at b) Vis at når y (0) = 0 c) Bestem . Kommenter svaret.Oppgåve 2 (6 poeng)
Funksjonen f er gitt ved a) Teikn grafen til f . b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Bestem arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen.Oppgåve 3 (8 poeng)
Skissa nedanfor viser ein pyramide OABCD som er plassert i eit romkoordinatsystem. Hjørna i pyramiden er O(0,0,0) , A(3,0,0) , B(3,3,0) , C(0,3,0) og D(0,0,4)
a) Bestem ved rekning arealet av sideflata ABD i pyramiden.
b) Sideflata ABD ligg i eit plan ?.
Vis ved rekning at planet ? har likninga
4x + 3z - 12 = 0
c) Bestem avstanden frå punktet O til planet ?.
d) Bestem ved rekning vinkelen mellom dei to plana som sideflatene ABD og BCD ligg i.
Oppgåve 4 (6 poeng)
Figuren nedanfor viser ein sirkelsektor OBC der C ligg i første kvadrant. Bogen BC er ein del av sirkelen med likning . Punktet A har koordinatane (2,0) og
a) Vis at koordinatane til C er .
Bestem likninga for den rette linja gjennom O og C.
b) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi ei kjegle.
Bestem volumet av denne kjegla ved hjelp av integralrekning.
c) Når flatestykket blir dreidd 360° om x-aksen, får vi eit kulesegment.
Bestem volumet av dette kulesegmentet ved hjelp av integralrekning.
Oppgåve 5 (6 poeng)
På figuren er eit rektangel med sider x og y skrive inn i ein sirkel. Sirkelen har diameteren D. ?v er vinkelen mellom x og D.
a) Forklar at omkretsen O til rektangelet kan skrivast som
O(v) = 2Dcosv + 2Dsinv
Bestem eit funksjonsuttrykk for arealet A(v) av rektangelet.
b) Bruk O'(v) og vis at det rektangelet som har størst omkrets, er eit kvadrat.
Bestem den største omkretsen av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
c) Bruk A'(v) og vis at det rektangelet som har størst areal, også er eit kvadrat.
Bestem det største arealet av rektangelet uttrykt ved diameteren D.
Oppgåve 6 (6 poeng)
Sierpi?ski-trekanten, som har fått namnet sitt etter den polske matematikaren Wac?aw Franciszek Sierpi?ski (1882–1969), lagar vi slik: 1. Vi startar med ein likesida, svart trekant har areal A. Sjå figur 1. 2. Midtpunktet på kvar av sidene i trekanten er hjørna i ein ny kvit, likesida trekant. Denne kvite trekanten fjernar vi. Vi står da igjen med tre likesida, svarte trekantar. Sjå figur 2. 3. Vi gjentek denne prosessen med kvar av dei svarte trekantane. Sjå figurane 3–5. Vi tenkjer oss at prosessen blir utført uendeleg mange gonger. Den «gjennomhola» figuren vi da står igjen med, blir kalla Sierpi?ski-trekanten.
Summen av areala som blir fjerna (dei kvite trekantane), er gitt ved rekkja
a) Bestem summen av rekkja ovanfor.
Kva fortel svaret ditt om arealet av Sierpi?ski-trekanten?
b) Sidene i trekanten i figur 1 er lik a.
Forklar at omkretsane av dei svarte trekantane i figurane 25? ovanfor er høvesvis
og
c) Vi gjer prosessen som forklart i trinn 2 ovanfor n gonger. Forklar at omkretsen av dei svarte trekantane da er lik
Forklar at når
Kva fortel det om omkretsen til Sierpi?ski-trekanten?
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
03:44
Oppgave 6
Vi har tre vektorer , , og , som er slik at . Vis at .
04:01
Teori 1
Vi definerer vektorprodukt.
06:01
Teori 2
Koordinatformel for vektorprodukt (eller metode..)
04:06
Teori 3
Vektorproduktet - ikke kommutativt!
01:25
Teori 4
Regneregler for vektorprodukt.
02:45
Oppgave 1
Regn ut vektorproduktet [1,2,2] x [-2,0,3]
06:39
Oppgave 2
Regn ut vektorproduktene:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
02:13
Oppgave 3
Bruk definisjonen av vektorprodukt til å vise at vektorproduktet av to parallelle vektorer blir nullvektor.
03:44
Oppgave 4
Bruk koordinatformelen for vektorprodukt til å vise at vektorproduktet av to parallelle vektorer blir nullvektor.
09:51
Oppgave 5
Vi utleder koordinatformelen for vektorprodukt. Litt heavy kanskje, men hvis du går for 5 eller 6 bør du klare å henge med!
Hvilket produkt omtales her?
Teori 4, 00:00
Kan man fordele vektorproduktet over en sum?
Teori 4, 00:06
Hva kan man gjøre med en tallfaktor i et vektorprodukt?
Teori 4, 00:22
Hvilket ord ble nevnt her?
Teori 4, 01:03
Hva blir vektorproduktet av parallelle vektorer?
Teori 4, 01:06
Kan en matematisk operasjon være kommutativ?
Teori 3, 00:00
Er produktet av to tall likt uansett rekkefølge?
Teori 3, 00:19
Kalles multiplikasjon en kommutativ operasjon?
Teori 3, 00:24
Hvilket begrep betyr at rekkefølgen ikke endrer resultatet?
Teori 3, 00:28
Er summen av to tall avhengig av rekkefølgen?
Teori 3, 00:30
Er addisjon kommutativ?
Teori 3, 00:36
Kan tall legges sammen i vilkårlig rekkefølge?
Teori 3, 00:48
Hva kalles egenskapen a + b = b + a?
Teori 3, 00:56
Gjelder kommutativitet for vanlig multiplikasjon av tall?
Teori 3, 01:00
Gir a * b samme resultat som b * a?
Teori 3, 01:04
Er multiplikasjon i tallregning symmetrisk med hensyn til rekkefølge?
Teori 3, 01:06
Er subtraksjon kommutativ?
Teori 3, 01:21
Kan rekkefølgen i et minusstykke byttes uten å endre resultat?
Teori 3, 01:24
Får man samme tall ved å bytte rekkefølge i subtraksjon?
Teori 3, 01:29
Endrer fortegnet seg ved ombytting av ledd i subtraksjon?
Teori 3, 01:32
Finnes det regneoperasjoner som ikke er kommutative?
Teori 3, 01:45
Må rekkefølgen være likegyldig for at en operasjon skal være kommutativ?
Teori 3, 01:47
Er skalarprodukt et kjent begrep i vektorregning?
Teori 3, 01:55
Er skalarproduktet av to vektorer kommutativt?
Teori 3, 01:58
Spiller rekkefølgen på vektorene noen rolle i et skalarprodukt?
Teori 3, 02:01
Kan vi regne skalarproduktet uavhengig av hvilken vektor som nevnes først?
Teori 3, 02:03
Påvirkes lengdene av vektorene av rekkefølgen i et skalarprodukt?
Teori 3, 02:13
Gir skalarproduktet samme resultat uansett rekkefølge på vektorene?
Teori 3, 02:28
Er cosinus til vinkelen mellom vektorene uavhengig av rekkefølge?
Teori 3, 02:49
Er vektorprodukt kommutativt?
Teori 3, 03:07
Får vi et annet resultat hvis vi bytter rekkefølge i et vektorprodukt?
Teori 3, 03:22
Er rekkefølgen avgjørende i kryssproduktet av to vektorer?
Teori 3, 03:27
Får man en motsatt rettet vektor ved ombytting av rekkefølgen i et kryssprodukt?
Teori 3, 03:30
Er vektorprodukt en ikke-kommutativ operasjon?
Teori 3, 04:02
Finnes det en kjent formel for kryssprodukt?
Teori 2, 00:00
Kan man bruke en metode i stedet for en formel?
Teori 2, 00:18
Er det vanlig å huske en metode for kryssprodukt?
Teori 2, 00:20
Kan et skjema hjelpe med å huske komponentene?
Teori 2, 00:25
Er visuell fremstilling nyttig i vektorberegninger?
Teori 2, 00:58
Kan en illustrasjon forenkle forståelsen?
Teori 2, 01:08
Involverer vektorproduktet multiplikasjon av koordinater?
Teori 2, 01:10
Må man trekke fra i beregningen av kryssprodukt?
Teori 2, 01:18
Er rekkefølgen på multiplikasjon og subtraksjon viktig?
Teori 2, 01:29
Er retningen på piler viktig i et kryssprodukt?
Teori 2, 01:44
Er den første koordinaten i 3D knyttet til ex?
Teori 2, 01:48
Omhandler kryssproduktet alle tre koordinater?
Teori 2, 01:54
Kan definisjonen av kryssproduktet utledes teoretisk?
Teori 2, 01:56
Bestemmes retning av et høyresystem i kryssprodukt?
Teori 2, 02:20
Kan rekkefølgen av koordinater påvirke fortegnet?
Teori 2, 02:22
Spiller rekkefølgen en rolle i kryssproduktet?
Teori 2, 02:27
Inngår subtraksjon i utregningen av kryssprodukt?
Teori 2, 02:34
Kan ulike koordinater kombineres på ulike måter i kryssprodukt?
Teori 2, 02:54
Må hver koordinat multiplikeres med en tilsvarende komponent?
Teori 2, 03:00
Kan en koordinat bli negativ i resultatet?
Teori 2, 03:07
Er det nyttig å kontrollsjekke stegene i et kryssprodukt?
Teori 2, 03:14
Kan eksempler hjelpe å vise hvordan kryssprodukt fungerer?
Teori 2, 03:29
Kan det ta litt tid å regne ut et kryssprodukt?
Teori 2, 03:51
Er det viktig å følge prosessen nøye i slike beregninger?
Teori 2, 03:59
Er rekkefølgen på koordinater avgjørende i utregningen?
Teori 2, 04:11
Kan en vektor ha negative komponenter?
Teori 2, 04:14
Gir et kryssprodukt alltid en ny vektor?
Teori 2, 04:19
Består utregningen av flere multiplikasjoner?
Teori 2, 04:27
Påvirker null en del av utregningen?
Teori 2, 04:35
Ferdigstiller man én koordinat før man går til neste?
Teori 2, 04:43
Er y-komponenten ofte neste steg i 3D-beregning?
Teori 2, 04:46
Inngår subtraksjon i hver del av koordinatberegningen?
Teori 2, 04:50
Brukes negative tall i vektorberegninger?
Teori 2, 04:52
Kan koordinater separeres med komma?
Teori 2, 04:56
Trengs egen plass til z-komponenten?
Teori 2, 05:01
Blir en multiplikasjon med null automatisk null?
Teori 2, 05:08
Kan flere subtraksjoner oppstå i z-komponenten?
Teori 2, 05:10
Bør man rydde opp i uttrykket for å få et sluttresultat?
Teori 2, 05:19
Kan et positivt tall multiplisert med et negativt tall gi et negativt resultat?
Teori 2, 05:23
Har null ingen effekt når det subtraheres?
Teori 2, 05:28
Kan negativ ganger negativ bli positivt?
Teori 2, 05:32
Kan et nullledd resultere i et fortsatt negativt svar?
Teori 2, 05:44
Er minus fire et gyldig resultat for en koordinat?
Teori 2, 05:48
Er vi ferdig med z-komponenten etter utregning?
Teori 2, 05:50
Får man da et endelig kryssprodukt?
Teori 2, 05:52
Viser eksempelet hvordan kryssprodukt utføres?
Teori 2, 05:55
Hva gir et skalarprodukt?
Teori 1, 00:00
Hva kan defineres i et 3D-rom?
Teori 1, 00:13
Hva kalles en annen type produkt av 3D-vektorer?
Teori 1, 00:21
Hvilket symbol brukes for vektorprodukt?
Teori 1, 00:30
Hva blir resultatet av et vektorprodukt?
Teori 1, 00:43
Hvordan er resultatvektoren orientert i forhold til de opprinnelige?
Teori 1, 01:03
Hvor kan to vektorer ofte visualiseres?
Teori 1, 01:15
Ved hvilken vinkel står vektorproduktet til de opprinnelige vektorene?
Teori 1, 01:22
Kan vi finne lengden av resultatvektoren?
Teori 1, 01:33
Hvilken trigonometrisk funksjon inngår i lengdeformelen for vektorprodukt?
Teori 1, 01:51
Hvilken trigonometrisk funksjon brukes i skalarproduktet?
Teori 1, 02:01
Hvilket system dannes av u, v og vektorproduktet?
Teori 1, 02:13
Hva trengs for å beregne lengden av et vektorprodukt?
Teori 1, 02:48
Kan tallverdier brukes i formelen for vektorproduktets lengde?
Teori 1, 03:02
Hvilken vinkel er ofte enkel å håndtere trigonometrisk?
Teori 1, 03:07
Kan en kalkulator brukes for å finne sinusverdien?
Teori 1, 03:11
Hvis alle verdier er kjent, kan vi få et presist tallresultat?
Teori 1, 03:17
Kan eksakte trigonometriske verdier brukes i stedet for kalkulator?
Teori 1, 03:27
Hvilken sinusverdi er roten av to delt på to?
Teori 1, 03:30
Hva er roten av to ganger roten av to?
Teori 1, 03:37
Kan multiplikasjon og divisjon forenkle uttrykk?
Teori 1, 03:42
Hvis kalkulator er tillatt, er det enklere å regne ut?
Teori 1, 03:47
Må man kunne eksakte trigonometriske verdier uten kalkulator?
Teori 1, 03:52
Vi har vektorproduktet . Hva er riktig?
Riktig svar!
Det er det vektorproduktet gjør.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Punktene og er gitt.
a) Bestem ved regning vektorproduktet
b) Forklar at C ligger på linjen gjennom A og B.
c) Bestem en likning for planet gjennom A, B og C.
d) Avgjør om punktet D(2, 2, 3) ligger i .
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Punktene og er gitt.
En setning i geometrien sier:
Et plan er entydig bestemt av tre punkter dersom disse punktene ikke ligger på en rett linje.
-
a) Bruk denne setningen til å vise at punktene A, B og C bestemmer et plan entydig.
-
b) Bestem en likning til planet
Et punkt T har koordinatene . - c) Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 3.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
\displaystyle \begin{align*} V_{ABCT} & = 3 \\\ \frac{1}{6}|(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AT}| & = 3 \\\ \frac{1}{6}|[2,-3,-1]\cdot[2-4,5-3,(4t+1)-1]| & = 3 \\\ \frac{1}{6}|2(-2) + (-3)2 + (-1)4t| & = 3 \\\ \frac{1}{6}|-10-4t| & = 3 \\\ |-10-4t| & = 18 \\\ t & = 2 \vee t = (-7)\end{align*}
Vektorproduktet = ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Det er slik det er, noe man bare må huske.
Punktene og er gitt.
a) Bestem . Bestem arealet av
b) Punktene A, B og C ligger i et plan . Bestem likningen for planet .
En partikkel starter i origo O(0 , 0 , 0).Etter tiden t er partikkelen i et punkt P gitt ved
c) Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer .
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Arealet av
Vi sier at vektorproduktet ikke er kommutativt, fordi:
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Dette viser at rekkefølgen har noe å si.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
= ?
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Riktig svar!
Man regner som om det skulle vært vanlige variabler.
Takk for at du forsøkte, men dette er feil svaralternativ.
Hjørnene i en pyramide ABCP er og .
a) Bestem et uttrykk for volumet av pyramiden.
b) Bestem koordinatene til P slik at .
c) Bestem koordinatene til P slik at volumet V(t) blir minst mulig.
Se løsning og registrer oppgaven
Vi bruker CAS.
Vi finner at det er to muligheter for punktet P. Koordinatene for disse to punktene er regnet ut i linje 5 og 6 ovenfor.
Hjørnene i en pyramide ABCP er og .
a) Bestem et uttrykk for volumet av pyramiden.
b) Bestem koordinatene til P slik at .
c) Bestem koordinatene til P slik at volumet V(t) blir minst mulig.
Se løsning og registrer oppgaven
Vi bruker CAS og finner
I linje 7 ser vi at V har et ekstremalpunkt for . Uttrykket for volumet er et andregradsuttrykk med positiv koeffisient foran andregradsleddet. Det betyr at vi har et bunnpunkt.
Volumet blir minst mulig når P har koordinatene
Kommentar: Vi kunne også tegnet grafen til og brukt denne til å finne svaret på denne oppgaven.
Hjørnene i en pyramide ABCP er og .
a) Bestem et uttrykk for volumet av pyramiden.
b) Bestem koordinatene til P slik at .
c) Bestem koordinatene til P slik at volumet V(t) blir minst mulig.
Se løsning og registrer oppgaven
Volum av pyramiden er gitt ved . Vi bruker CAS.
Vi finner
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.