VGS matematikk
1 - 2 - 3 klasse
1 - 2 - 3 klasse
Lær VGS matten fra A til Å
med de beste metodene
Enkelt å
holde fokus
Forstå det
vanskelige
Få god
oversikt
Øv på
riktig tema
Få hjelp når
du stopper opp
1 Følger og rekker
07:59
08:38
11:37
05:02
19:30
05:57
03:59
36:31
11:10
35:07
22:06
28:09
35:10
2 Derivasjon
28:13
03:48
08:30
3 Integrasjon
06:40
10:22
30:07
54:41
4 Modeller og metoder
12:03
07:43
14:57
09:24
03:33
21:10
05:07
16:57
09:55
5 Sannsynlighetsfordelinger
08:32
06:23
01:57
04:50
12:32
03:55
6 Normalfordeling og statistikk
21:06
21:22
05:57
04:31
10:29
10:50
02:05
06:44
Flere temaer
52:42
86:24
Oppgåve 1 (4 poeng)
Deriver funksjonene
a)
b)
c)
Oppgåve 2 (5 poeng)
Funksjonen f er gitt veda) Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f .
b) Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til f.
c) Lag en skisse av grafen til f.
Oppgåve 3 (3 poeng)
a) Forklar at polynomet
Oppgåve 4 (3 poeng)
Løs likningssystemet
Oppgåve 5 (3 poeng)
En rekke er gitt veda) Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen Sn av rekken.
b) Bestem summen av den uendelige rekken
Oppgåve 6 (4 poeng)
En tallfølgea) Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.
b) Vis at leddene
c) Vis at
Oppgåve 7 (4 poeng)
Laa) Bestem et uttrykk for inntekten
b) Bestem et uttrykk for overskuddet
Oppgåve 8 (4 poeng)
I et terningspill på et kasino blir det kastet to vanlige terninger. Dersom summen av antall øyne er 10, får spilleren 200 kroner. Blir summen av antall øyne 7, får spilleren 50 kroner. Dersom summen blir et annet tall, får ikke spilleren gevinst. La a være prisen en spiller må betale for ett spill, og X utbyttet til kasinoet ved én tilfeldig spilleomgang.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor
b) Hva bør kasinoet sette prisen a til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?
Oppgåve 9 (6 poeng)
I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1. Levetiden X til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid
a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.
b) Sannsynligheten er 90 % for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn x timer. Bestem x.
c) Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer X ? Begrunn svaret.
Oppgåve 1 (8 poeng)
Maria trener på et apparat i et treningssenter. La f(x) være treningseffekten, det vil si antall kilojoule som forbrennes per minutt, x minutter etter starten på treningsøkten. Funksjonen f er gitt ved
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til
b) Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min. Det samlede energiforbruket E, målt i kilojoule (kJ), i de første t minuttene av treningen er gitt ved
c) Bestem det samlede energiforbruket til Maria i løpet av de første 10 minuttene.
d) Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.
Oppgåve 2 (8 poeng)
I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen. I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Menn:
Kvinner:
a) Lag lineære modeller f og g for farten til menn og kvinner. La x være antall år etter 1900.
b) Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene? Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på 5,72 m/s, mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på 5,01 m/s.
c) Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene? En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp x år etter 1900 er gitt ved:
d) Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.
Oppgåve 3 (4 poeng)
Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år. Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.a) Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?
b) Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?
Oppgåve 4 (4 poeng)
Energiinnholdet i de tre produktene smøreost, helmelk og hvitost kommer fra næringsstoffene fett, karbohydrater og proteiner. Tabellen nedenfor viser næringsinnhold og samlet energiinnhold i 100 g av hvert av de tre produktene.
Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet (i kJ) i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.
Vedlegg 1 Standard normalfordeling
Tabellen viser 
Gratis Prøvesmak
Superteknikker
En til en veiledning
Prøvesmak våre videoer
Mattevideo tilbyr fullstendig dekning av kursene 1P, 1PY, 1T, 2P, S1, R1, S2 og R2 innenfor videregående skole. Under har vi lagt ut noen smakebiter fra disse kursene, så du kan sjekke ut noe av det vi har å by på, før du bestemmer deg for å bli abonnent.1P - Polynomfunksjoner1PY - Prosentregning1T - Funksjonsbegrepet2P - Første gradS1 - LikningssettR1 - Å finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglerS2 - Aritmetiske og geometriske rekkerR2 - Sinusfunksjoner og cosinusfunksjoner
Lær å jobbe smarterepå 5 minutter
Det finnes mange ulike studieteknikker, utfordringen er ofte å finne de som fungerer best for deg. I oversikten under finner du enkelt de beste teknikkene.
Alle våre studietips er laget av vår superelev - med 6 i snitt fra vgs. Ingen av artiklene tar mer enn 5 minutter å lese - slik at du kan starte læringen så fort som mulig.
Hva skjer i hjernen når du lærer?
Du møter noe nytt for første gang
Du kobler den nye tingen med kunnskap du har fra før
Du repeter og styrker sammenhengene
Du bruker kunnskapen
Vanlige utfordringer - og hvordan løse dem
Teknikkene som gjør deg til en superelev
En til en veiledning
Ønsker du en uforpliktende samtale om dine behov?
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
La oss ringe deg, så finner vi en god løsning.
03:29
Teori 6
Gjenommsnitsverdi - power point.
I denne videoen handler det om gjennomsnittsverdien til en funksjon.
Quiz section 0
Hvilket tema diskuteres?
Vektorer
Gjennomsnittsverdi for en funksjon
Matrisealgebra
Oppsummer det viktigste på 1-2-3,
klikk her for 10 sekunders quiz
klikk her for 10 sekunders quiz
Oppsummer det viktigste på 1-2-3
Og da viser det seg at den kan ha noe med integral å gjøre.
Quiz section 1
Hva henger gjennomsnittsverdi sammen med?
Tangenter
Integraler
Grenseverdier
T hvis vi kaller grensens verdien til litt rart, du kan det kanskje, men en del på [..] sa integralet fra a til b f av X DX.
Quiz section 2
Hvilket matematisk verktøy nevnes?
Komplekse tall
Integral
Polynomdivisjon
Når du ser dette første gangen, virker det litt rart, men vi skal prøve å begrunne hvorfor. Her ser vi grafen til en funksjon, og du ser med rødt at vi har området mellom A og B.
Quiz section 3
Hva er markert mellom A og B?
Et område
En punktserie
En tangent
F av X er det snakk om x = x = område, eller den är röd delen av grafen. Kan du si det er da.
Quiz section 4
Hvilken funksjon omtales i den røde delen av grafen?
f(x)
g(x)
h(x)
Funksjonen mellom.
Quiz section 5
Hva omtales igjen her?
Konstanten
Funksjonen
Variabelen
Vad är genomsnittsverdien til f av x i intervalla AB? Det er det vi lurer på.
Quiz section 6
Hva lurer vi på i dette intervallet?
Maksimumsverdien
Nullpunktet
Gjennomsnittsverdien
Sakt på en annen måte: var gjennomsnittshøyden for det? Kan være enig i at det blir på en måte en høyde.
Quiz section 7
Hvilket ord brukes synonymt med gjennomsnittsverdi?
Gjennomsnittstrend
Gjennomsnittsgraf
Gjennomsnittshøyde
Hvilken høydemål rektangelet får vi se? Hvilken rektangel med grunnlinje B minus A ha.
Quiz section 8
Hva brukes som grunnlinje for rektangelet?
A delt på B
A pluss B
B minus A
Där kommer ett rektangel.
Quiz section 9
Hva dukker opp i illustrasjonen?
Et rektangel
En trekant
En sirkel
[skip] Du ser det har en bredde som tilsvarer [..] grunnlinje, kan du si. Og så er det en høyde oppover der, og den høyden kan man regulere sånn at den blir like stor som.
Quiz section 10
Hva kan justeres for å matche arealet under grafen?
Omkrets
Bredde
Høyden
Integralet fra a til b f av x dx.
Quiz section 11
Hvilket begrep nevnes?
Derivert
Integral
Grenseverdi
For det er jo på en måte det som er tanken at rektangler. Hvis det skal, altså det vi egentlig er ute etter nå, er å finne den rektangelhøyden som gjør at arealet blir like stort som arealet under grafen. For i så fall er den høyden egentlig gjennomsnittshøyden til funksjonen.
Quiz section 12
Hva skal rektangelets areal tilsvare?
Arealet under grafen
Arealet av trekanten
Summen av koeffisientene
Men det vi i dag har sagt, Där det kan vi jo sette opp som en slags krav, og det gjør at det blir en ligning. Den ser sådan ut fordi till vänster får [..]. Där ser du grundlinjen i høyde. Det må jo være arealet av rektangelet, og integralet fra a til b f av x dx må være arealet under grafen.
Quiz section 13
Hvilken matematisk likhet beskrives?
Rektangelareal = areal under grafen
Summen av to funksjoner = integralet
Gjennomsnitt av data = standardavvik
Og nå er jeg nå tar vi. Nå ser vi på det enkle tilfellet hvor grafen bare er positiv da, men det spiller egentlig ingen rolle.
Quiz section 14
Hvilken betingelse nevnes for grafen?
Den er positiv
Den er stigende
Den er periodisk
Og så kan vi snu litt på det. Hva er det som har skjedd hittil jo? Siden sist ser vi att grundlinjen kan vi bytte ut med b- minus a. Da har vi allerede sagt.
Quiz section 15
Hva byttes ut med b - a?
Toppunktet
Grunnlinjen
Gjennomsnittet
Begynnelsen av ganger H skal være lik til integralet. Og hvis vi da skal finne h, så må vi dele på b - a på begge sider av likhetstegnet.
Quiz section 16
Hva gjør vi for å finne høyden?
Legger til (b - a)
Trekker fra (b - a)
Deler på (b - a)
Og da kommer vi dit.
Quiz section 17
Hva fører regnestykket til?
En formel for hastighet
En formel for volum
En formel for høyden
Og da ser du nå: Hva er det som skjedde her? Jo, da må der har vi riktig høyde, liksom. Hvis høyden er sånn som du ser nå, så ser du at det er omtrent rektangelet. Det har jo ikke med noe greier borti her, eller hva sier jeg for noe? Rektangelet har med noe som ikke er under grafen, men til gjengjeld er grafen høyere her borte og har med noe som ikke er i rektangelet. De to bitene som er utenfor, de er da omtrent like store. Og da blir høyden riktig, og den høyden blir da en del på [b-minus a] integralet fra [a til b] f x dx.
Quiz section 18
Hvordan oppnås riktig høyde?
Ved å øke bredden
Ved å gjøre arealene like
Ved å senke grafen
H representerer i gjennomsnittsverdien til f i intervallen AB.
Quiz section 19
Hva representerer H?
Nullverdi til f
Maksverdi til f
Gjennomsnittsverdi til f
Quiz section 20
Quiz section 21
08:26
Teori 1
Her ser du hva som menes med induksjonsbevis.
02:27
Teori 2
Kostnadsoptimal produksjonsmengde.
02:09
Teori 3
Vinningsoptimal produksjonsmengde.
03:39
Teori 4
Etterspørsel - funksjon av pris.
04:39
Teori 5
Diverse talltyper. Naturlige tall, hele tall, partall og oddetall, rasjonale tall, irrasjonale tall. Nyttige definisjoner for resten av dette kapitlet.
03:24
Teori 7
Kostnadsoptimal produksjonsmengde og grafen til k(x).
03:00
Teori 8
Overskuddsfunksjonen - nyttige tanker.
02:17
Teori 9
Gitt funksjonen .
a) Regn ut ,, som også kan skrives og . Foreslå et uttrykk for .
b) Bevis ved induksjon at uttrykket for gjelder.
05:49
Teori 10
Lengdeintegral.
03:40
Teori 11
Direkte bevis.
04:08
Teori 12
Kontrapositiv bevis.
05:35
Teori 13
Bevis ved motsigelse, også kalt indirekte (Ad Absurdum) bevis.
03:35
Oppgave 1 del 1
I en modell for etterspørselen e til en vare som funksjon av prisen p, er e(p)=1000-10p, der p er mellom 20 og 80. Videre er kostnaden K ved å produsere x enheter git ved K(x)=10 000 + 20x. Vi antar at antall produserte enheter er lik antall solgte enheter.
a) Hvilken pris gir størst inntekt?
a) Hvilken pris gir størst inntekt?
06:08
Oppgave 1 del 2
I en modell for etterspørselen e til en vare som funksjon av prisen p, er e(p)=1000-10p, der p er mellom 20 og 80. Videre er kostnaden K ved å produsere x enheter git ved K(x)=10 000 + 20x. Vi antar at antall produserte enheter er lik antall solgte enheter.
b) Hvilken pris gir størst overskudd?
b) Hvilken pris gir størst overskudd?
06:05
Oppgave 1
Bruk induksjon til å vise at (Oppgave 1f eksamen R2 V 2011)
04:47
Oppgave 2 del 1
Vi gjør oppgave 1 del 1 i geogebra
05:32
Oppgave 2 del 2
Vi gjør oppgave 1 del 2 i geogebra
03:27
Oppgave 2
Bruk direkte bevis til å bevise at summen av to oddetall blir et partall.
03:41
Oppgave 3 del 1
De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer x enheter av en vare per dag er
gitt i tabellen nedenfor.
a) Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for K(x). Inntektene I kroner ved salg av x enheter per dag er gitt ved der p er prisen på varen og
a) Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for K(x). Inntektene I kroner ved salg av x enheter per dag er gitt ved der p er prisen på varen og
07:58
Oppgave 3 del 2
De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer x enheter av en vare per dag er
gitt i tabellen nedenfor.
b) Hva må p være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da? Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter x og prisen p viser seg å være x = 200 - 1,2p
b) Hva må p være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da? Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter x og prisen p viser seg å være x = 200 - 1,2p
05:15
Oppgave 3 del 3
De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer x enheter av en vare per dag er
gitt i tabellen nedenfor.
c) Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag.
c) Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag.
04:28
Oppgave 3
Bruk direkte bevis til å bevise at summen av to rasjonale tall blir et rasjonalt tall.
04:38
Oppgave 4
Bruk induksjon til å vise at er delelig med 2 for alle naturlige tall n.
08:24
Oppgave 5
Bruk kontrapositive bevis til å vise at når ikke er delelig med 3, så er n delelig med 3. Dette er litt vanskelig, men morsomt hvis vi tenker kontranegativt.
05:41
Oppgave 6
Bruk induksjon til å vise at formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke er gitt ved , der er første ledd, og er kvotienten.
07:04
Oppgave 7
Vis at hvis x er et oddetall så er delelig på 8.
09:41
Oppgave 8
En aritmetisk tallfølge er gitt ved 1,4,7,10,…
Henrik vet at følgen kan uttrykkes gjennom den eksplisitte formelen
, der ,
men han mener også at den samme tallfølgen kan uttrykkes ved formel
Her er et korreksjonsledd for ledd nummer n.
a) Finn korreksjonsleddet for n=1,2 og 3, og foreslå et mer spesifikt uttrykk for , som du setter inn i formelen for .
b) Bruk induksjon til å vise at dette uttrykket for beskriver samme aritmetiske følge som .
Flott opplegg og undervisning😊
Tusen takk!
Gjorde unna R2 som privatist på et halvt år!! Mattevideo har gjort det mye lettere å fordøye et så tungt pensum på så kort tid. Tusen takk for hjelpa!!😊
Bra undervisning!
Jeg er fornøyd med videone deres det har hjulpet meg til å bestå matten i både Vgs og Uni . Så takk😊
Meget bra!
Tusen takk. Veldig flink lærer. Gode forklaringer.
Helt topp :D
Bra side.
Kjempebra!😊
Bra side. Veldig gode forklaringer😊
Tror dette kommer til å redde meg på noen prøver fremover. Takk! :D
takk for hjelpen
Takk for læreren av denne siden. Det er utrolig en bra side, fikk meg mye. Tusen hjertelig takk
Kan trygt anbefale Arne Hovland! Beste læreren jeg har hatt i løpet av drøyt 20 år med utdanning.
takk for denne siden :D min 1T mattelærer snakker så monotont og gjør matte så kjedelig at interessen svinner vekk og jeg sovner etter 5 minutter.